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●로또복권의 당첨확률 수학적계산

로또야 0 2,721 2015.08.05 02:55
● 로또복권의 당첨확률 계산법

우리나라에서 처음 실시된 로또복권은 ‘6-45방식’,즉 1부터 45까지의 번호 중에서 6개의 번호를 맞추는 것이다. 6개 번호의 순서는 상관없다.

먼저 45개의 번호에서 ‘A’라는 특정의 1개 번호가 뽑힐 확률은 45분의 1(1/45)이다.

두번째 번호의 확률은 첫번째 1개 번호가 빠져나갔으므로 1/44,
세번째는 1/43…마지막은 1/40이다.

따라서 6개의 번호가 순서대로 뽑힐 확률은 1/(45×44×43×42×41×)=1/58억6444만3200이다.

그런데 로또복권에서는 6개 번호의 순서는 따지지 않으므로 6개의 번호가 순서를 달리하며 나타날 수 있는 720가지(6×5×4×3×2×1)의 경우를 곱해야 하므로,1/814만5060이 되는 것이다.

이를 수식으로 나타내면,n개의 번호에서 a개의 번호를 뽑는다고 할 때 경우의 수는 순서까지 고려하면 nPa=n!/(n-a)!가 된다. 즉 45P6=45!/39(=45-6)!=58억6444만3200이다.

반면 순서와 관계없이 번호만 맞는 경우는 nCa=n!/<(n-a)!×a!>가 된다. 즉 45C6=45!/<39!×6!>=814만5060이다. 6!은 720(6×5×4×3×2×1)이다(P와!는 팩토리알,C는 컴비네이션).

3등은 1등 당첨번호 6개 중 5개와 일치해야 한다. 따라서 1등 당첨번호 6개 가운데 5개를 포함하는 경우의 수가 6C5=6가지이고, 나머지 하나의 번호는 45개 번호 중 남은 39개 번호 가운데 하나를 뽑는 것이므로 39C1=39가지가 된다.

따라서 3등으로 당첨될 확률은 1등의 확률보다 234배(=6C5×39C1) 큰 1/3만4808이 된다.

이를 풀어서 이해해보면, 예를 들어 1등당첨번호가 <1,2,3,4,5,6>일 경우 6개 번호 중 5개가 1등당첨번호와 일치하는 번호는 <1,?,3,4,5,6> <1,2,?,4,5,6> <1,2,3,?,5,6> <1,2,3,4,?,6> <1,2,3,4,5,?> 등 6가지다.

여기에 ‘?’ 번호는 45개 번호 중 1등당첨번호인 <1,2,3,4,5,6>을 뺀 나머지 39개 번호 중 아무거나 되므로 39가지이다. 따라서 3등당첨확률은 1등당첨확률보다 6×39=234배 크게 되는 것이다.

그런데 이 3등 당첨번호들 중에서 특정의 행운숫자를 지닌 것을 2등으로 하고 있어 실제 3등 당첨확률에서는 이를 제외해야 한다.

2등은 1등 당첨번호와 5개가 일치하는 것은 3등과 같으나 나머지 하나인 ‘?’는 39개 번호 아무 것이나 되는 게 아니라 행운번호에서 추첨된 하나의 번호만 된다. 따라서 2등당첨확률은 1등의 6배이므로 1/135만7510이다.

여기서 다시 3등 당첨확률을 계산하면 1/3만4808-1/135만7510=1/3만5724가 된다. 이는 수식으로는 6C5×38C1/814만5060=228/814만5060=1/3만5724이다.

4등의 경우 1등당첨번호 6개 중 4개가 일치하는 경우는 6C4=6!/<(6-4)!×4!>=720/<2×24>=15이고,나머지 39개 번호 중 2개 번호를 더 뽑는 경우의 수는 39C2=39!/<(39-2)!×2!>=741이 된다.

따라서 4등당첨확률은 1등보다 1만1115배(=15×741) 큰 1/733이 되는 것이다. 3개가 일치해야 하는 5등의 경우 6C3×39C3=(720/36)×(5만4834/6)=20×9139=18만2780이므로,당첨확률은 이만큼 1등보다 큰 1/45(18만2780/814만5060)이 된다.

● 인쇄식 복권의 당첨확률

'주택복권’의 경우 총 540만가지의 번호가 이미 입력돼 있는 복권을 발행하므로 이 중 1가지만 당첨되는 1등의 당첨확률은 1/540만이다. 1등과 같은 조 앞·뒤 번호인 2등의 당첨확률은 2/540만,1등과 조만 다르고 번호가 같은 행운상은 5/540만, 각조마다 한 가지의 숫자만 당첨되는 3등은 6/540만이다.

또 끝의 3자리 번호가 맞아야 하는 4등은 000∼999 중 2개이므로 1/500,끝의 2자리 번호가 맞아야 하는 5등은 00∼99 중 4개이므로 1/25,끝의 1자리 번호만 맞으면 되는 6등은 0∼9 중 3개이므로 3/10이다. ‘슈퍼더블복권’ 역시 주택복권과 같은 구조로 돼있다.

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